PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN APLIKASINYA DALAM KIMIA

     A.  Asal Usul Diferensial

Diferensial merupakan ilmu cabang dari kalkulus. Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", yang digunakan untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit,

turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

     Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

a.    Sejarah Perkembangannya

  Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang terkenal.

     Sejarah perkembangan kalkulus bisa dilihat pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

     Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

     Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.

 Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.

     Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

     Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.

     Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".

      b.   Pengaruh Pentingnya Kalkulus

     Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.

            Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret tak terhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret tak terhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

     B.  Pengertian Diferensial (Turunan)

Persamaan diferensial, yaitu suatu persamaan yang melibatkan suatu fungsi yang dicari dan turunannya.

                
 Grafik dari sebuah fungsi (garis hitam) dan sebuah garis singgung terhadap fungsi (garis merah). Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari fungsi pada titik singgung.

     Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.

     Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.

     Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.

     Laju perubahan value/nilai fungsi y = f(x) dalam interval ∆x mendekati atau menuju nol (∆x → 0) dinamakan fungsi derivatif atau diferensial atau yang sering kita dengar dengan nama turunan, dari y = f(x), diberi notasi y’, f’(x), atau dy/dt dinyatakan dengan :

     Misalkan x dan y adalah bilangan real di mana y adalah fungsi dari x, yaitu y = f(x). Salah satu dari jenis fungsi yang paling sederhana adalah fungsi linear. Ini adalah grafik fungsi dari garis lurus. Dalam kasus ini, y = f(x) = m x + c, di mana m dan c adalah bilangan real yang tergantung pada garis mana grafik tersebut ditentukan. m disebut sebagai kemiringan dengan rumus:

     Namun, hal-hal di atas hanya berlaku kepada fungsi linear. Fungsi nonlinear tidak memiliki nilai kemiringan yang pasti. Turunan dari f pada titik x adalah pendekatan yang paling baik terhadap gagasan kemiringan f pada titik x, biasanya ditandai dengan f'(x) atau dy/dx. Bersama dengan nilai f di x, turunan dari f menentukan pendekatan linear paling dekat, atau disebut linearisasi, dari f di dekat titik x. Sifat-sifat ini biasanya diambil sebagai definisi dari turunan.

Sebuah istilah yang saling berhubungan dekat dengan turunan adalah diferensial fungsi.

     Garis singgung pada (x, f(x))

     Bilamana x dan y adalah variabel real, turunan dari f pada x adalah kemiringan dari garis singgung grafik f' di titik x. Karena sumber dan target dari f berdimensi satu, turunan dari f adalah bilangan real. Jika x dan y adalah vektor, maka pendekatan linear yang paling mendekati grafik f tergantung pada bagaimana f berubah di beberapa arah secara bersamaan. Dengan mengambil pendekatan linear yang paling dekat di satu arah menentukan sebuah turunan parsial, biasanya ditandai dengan ∂y/∂x. Linearisasi dari f ke semua arah secara bersamaan disebut sebagai turunan total. Turunan total ini adalah transformasi linear, dan ia menentukan hiperbidang yang paling mendekati grafik dari f. Hiperbidang ini disebut sebagai hiperbidang oskulasi; ini secara konsep sama dengan mengambil garis singgung ke semua arah secara bersamaan.

    C.  Klasifikasi Persamaan Diferensial

     Suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variable terikat terhadap satu atau lebih variable bebas disebut persamaan diferensial. Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variable bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB), dan bila pada Persamaan Diferensial (PD) terdapat dua atau lebih variabel bebas yang tidak spesifik, maka persamaan tersebut dinamakan Persamaan Diferensial Parsial (PDP).  Untuk mengetahui perbedaan kedua jenis persemaan diferensial itu dapat dilihat dalam definisi sebagai berikut :

     1.    Persamaan Diferensial Biasa :

Persamaan Diferensial Biasa (PDB) adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan hanya oleh satu macam variabel bebas, x dan konstanta. Fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.

Contoh 1

Cari solusi dari                y’ = 2y

Karena                             dy = 2ydx

Maka solusinya                y = e^2x + k ; k = konstanta

Contoh 2

Cari solusi dari                yy’ = -x

Karena                             ydy = -xdx

dan solusinya                   x² + y² = 1 untuk -1 < x < 1

Contoh 3

Cari solusi dari                y’ = cos x

Karena                             dy = cos x dx

Maka solusinya                y = sin x + k ; k = konstanta

     A.  Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) orde 1

     Persamaan Diferensial Biasa orde 1 dapat diselesaiakan dengan cara:

a.    Persamaan eksak (exact equation)

b.    Persamaan yang dapat dipisahkan (Separable equation)

c.    Persamaan Homogen (Homogeneus equation)

d.   Faktor Integral

     a.    Persamaan Eksak

     Persamaan Umum Persamaan Diferensial Biasa orde 1 dalam dy/dx dapat dinyatakan dengan:

            Mdx  + Ndy = 0

     Dengan M dan M merupakan fungsi x.

     Syarat persamaan eksak adalah jika :

            dM/dy = dN/dx

Secara singkat cara penyelsaian PD eksak adalah :

1.         M diintegralkan terhadap x, akan diperoleh f

2.         f dideferensialkan terhadap y

3.         Samakan antara df/dy = N akan diperoleh  f(y)

4.         Masukan f(y) ke PUPD (f)

     b.   Persamaan yang dapat dipisahkan (separable equation)

Jika persamaan Mdx  +  Ndy = 0 dapat diubah menjadi f(x) dx + g(y) dy, persamaan diferensial ini disebut PD yang dapat dipisahkan. Sedangkan penyelesaiannya adalah :

           

∫ f (x) dx + ∫ g (y) dy = C

             

     c.    Persamaan Homogen

Persamaan diferensial disebut dengan persamaan homogen adalah jika persamaannya berbentuk:

                                                                     dy/dx =  f (y/x)                                                                            (1)

Persamaan Diferensial ini diselesaikan dengan substitusi

y = nx                                                                                      (2)

dy/dx = v + x dv/dx                                                              (3)

Jika persamaan (3) disubtitusikan ke persamaan (1)   akan diperoleh :

           

v + x dv/dx = f (v)

vx dv/dx = f (v) - v

 dx/x = dv/f (v) - v                 (4)

                                                                                

Jika persamaan (4) diintegralkan akan diperoleh

            ln x = ∫ dx/ f (v) – v + C

 

     d.   Faktor Integral

Persamaan umum Persamaan Diferensial yang dapat diselesaikan dengan faktor integral :

dy/dx  +  P(x)y   = Q(y)

Faktor pengintegralan diberikan dalam bentuk :

            μ = e^{∫ P(x) dx}

Persamaan umumnya dapat ditulis :

            d(μy)/dx = μQ

Dengan penyelsaian umumya :

            μy = μQdx + C

Atau,

ye^{∫ P(x) dx}= ∫Q e^{∫ P(x) dx}dx + C

 

     B.  Persamaan Diferensial Biasa Orde 2

Persamaan umum Persamaan Diferensial Biasa orde 2 adalah :

            Pd²y/dx² + Q dy/dx + Ry =  ᶲ(x)

Secara umum Persamaan Diferensial Biasa orde 2 dikelmpokkan menjadi 2 kelompok :

1.    Persamaan Diferensial Biasa orde 2 Non Linier

a.    Persamaan tidak mengandung y

Persamaan Diferensial Biasa orde 2 yang tidak mengandung y dapat berbentuk :

      i.   d²y/dx² =ᶲ (x) Dalam hal ini tidak mengandung dy/dx dan y.

Penyelesaiannya adalah dengan integrasi dua kali.

     ii.   d²y/dx² =ᶲ (x, dy/dx) Dalam hal ini tidak mengandung y.

Penyelesaiannya adalah dengan substitusi P = dy/dx, sehingga akan dihasilkan suatu PDB orde 1.

b.    Persamaan tidak mengandung x

Persamaan umumnya adalah :

d²y/dx² =ᶲ (x, dy/dx)

Penyelesaiannya adalah dengan subtitusi n = y'y" = d²y/dx² = dv/dx = dv/dy . dy/dx = v dy/dx 

Akan diperoleh persamaan :

             

Persamaan diatas merupakan PDB orde  1

c.    Persamaan homogen

2.    Persamaan Diferensial Biasa orde 2 Linier

a.    Koefisien dalam persamaan merupakan konstanta

b.    Koefisien dalam persamaan merupakan fugsi x

Persamaan umum PDB orde 2 adalah :

             

Dimana P, Q, R adalah konstanta

Penyelesaian umum Persamaan Diferensial Biasa orde 2 linier :

Substitusi :

            y = u  + v

             

Sehingga persamaan menjadi :

Persamaan diatas dapat dipecah menjadi dua :

             

                                        (Complementary Function = CF)

                                    (Particular Integral = PI)

Persamaan kemudian diselesaikan perkelompok yaitu CF dan PI

PUPD = CF + PI = yc + yp

Penyelesaian Particular Integral (yp)

Persamaan umum :

f(x) dapat konstanta ataupun variabel

Secara umum particular integral adapt diselesaikan dengan :

      a.    Metode Undetermined coefficient (Prinsip coba-coba)

      b.    Metode Invers Operator

        Pada modul ini hanya akan dibahas metode undetermined coefficient

      a.    Jika  f(x) adalah konstanta ( K ), dicoba dengan asumsi :

     yp = C ,      ,  

     Jika dimasukkan ke PI maka

      

         0      +   0    +  Ry_p = K

                       yp = K/R

b.    Jika  f(x) adalah polinomial 

f(x) = ao + a1 x + a2 x² + a3  x³ + .......+ an xⁿ

Maka penyelesaian PI adalah :

yp = ao +  a1 x +  a2 x² +  a3  x³ + .......+ an xⁿ

Subsitusikan ke PI kemudian disamakan.

c.  Φ(x) adalah eksponensial

Φ(x) = T exp(rx)

d.  Φ(x) adalah trigonometri

Φ(x) = G sin nx + H cos nx