A. Asal Usul
Diferensial
Diferensial
merupakan ilmu cabang dari kalkulus. Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya
"batu kecil", yang digunakan untuk menghitung) adalah cabang ilmu
matematika yang mencakup limit,
turunan, integral, dan deret
tak terhingga.
Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan
untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang
luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat
dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus
integral yang
saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran
matematika lainnya yang lebih tinggi yang khusus mempelajari fungsi
dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
a. Sejarah
Perkembangannya
Sejarah perkembangan kalkulus bisa
dilihat pada
beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa
pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan
dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral
bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa
Mesir (1800 SM). Pada papirus tersebut,
orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih
jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
Pada zaman pertengahan,
matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak
terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah
astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan
bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat
kecil tak terhingga dan menjelaskan bentuk
awal dari "Teorema Rolle".
Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn
al-Haytham (Alhazen)
menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat
empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum
dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus
integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam
kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava,
bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern, penemuan
independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti
John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam
kalkulus. James Gregory
membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak
hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap
sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini
bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap
sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan.
Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang
banyak digunakan sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz
mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara
matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan
terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi
Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri
pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering
dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci
menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari
integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan
penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Leibniz yang
memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan
Newton menamakannya "The science of fluxions".
b.
Pengaruh Pentingnya Kalkulus
Walau beberapa konsep kalkulus telah
dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia,
dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar
kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap
perkembangan fisika.
Kalkulus juga digunakan untuk
mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama
berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang
meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret tak terhingga. Seorang filsuf Yunani
kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi,
terutama di bidang limit dan deret tak terhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks
tersebut.
B. Pengertian
Diferensial (Turunan)
Persamaan
diferensial, yaitu suatu persamaan yang melibatkan suatu fungsi yang dicari dan
turunannya.
Grafik dari sebuah fungsi (garis hitam) dan sebuah garis singgung terhadap fungsi (garis merah). Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari fungsi pada titik singgung.
Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang
mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah
menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus
diferensial adalah turunan. Turunan dari
suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati
nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan
variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik
tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan
linear terbaik fungsi pada titik tersebut.
Proses
pencarian turunan disebut pendiferensialan
(differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan
bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.
Turunan sering
digunakan untuk mencari titik
ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan
turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting
dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization)
sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis
kompleks, analisis
fungsional, geometri
diferensial, dan bahkan aljabar
abstrak.
Laju
perubahan value/nilai fungsi y = f(x) dalam interval ∆x mendekati atau menuju
nol (∆x → 0) dinamakan fungsi derivatif atau diferensial atau yang sering kita
dengar dengan nama turunan, dari y = f(x), diberi notasi y’, f’(x), atau dy/dt dinyatakan dengan :
Misalkan
x dan y adalah bilangan
real di mana y adalah fungsi dari x, yaitu y
= f(x). Salah satu dari jenis fungsi yang paling sederhana adalah
fungsi linear. Ini adalah
grafik fungsi dari garis lurus. Dalam kasus
ini, y = f(x) = m x + c, di mana m
dan c adalah bilangan real yang tergantung pada garis mana grafik
tersebut ditentukan. m disebut sebagai kemiringan dengan rumus:
Namun,
hal-hal di atas hanya berlaku kepada fungsi linear. Fungsi nonlinear tidak
memiliki nilai kemiringan yang pasti. Turunan
dari f pada titik x adalah pendekatan yang paling baik terhadap
gagasan kemiringan f pada titik x, biasanya ditandai dengan f'(x)
atau dy/dx. Bersama dengan nilai f di x, turunan
dari f menentukan pendekatan linear paling dekat, atau disebut linearisasi, dari f
di dekat titik x. Sifat-sifat ini biasanya diambil sebagai definisi dari
turunan.
Bilamana
x dan y adalah variabel real, turunan dari f pada x
adalah kemiringan dari garis singgung grafik f'
di titik x. Karena sumber dan target dari f berdimensi satu,
turunan dari f adalah bilangan real. Jika x dan y adalah
vektor, maka pendekatan linear yang paling mendekati grafik f tergantung
pada bagaimana f berubah di beberapa arah secara bersamaan. Dengan
mengambil pendekatan linear yang paling dekat di satu arah menentukan sebuah turunan
parsial, biasanya ditandai dengan ∂y/∂x.
Linearisasi dari f ke semua arah secara bersamaan disebut sebagai turunan total. Turunan total
ini adalah transformasi
linear, dan ia menentukan hiperbidang yang paling
mendekati grafik dari f. Hiperbidang ini disebut sebagai hiperbidang
oskulasi; ini secara konsep sama dengan mengambil garis singgung
ke semua arah secara bersamaan.
C. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Suatu persamaan yang meliputi
turunan fungsi dari satu atau lebih variable terikat terhadap satu atau lebih
variable bebas disebut persamaan diferensial. Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya tergantung pada
satu variable bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB), dan bila pada
Persamaan Diferensial (PD) terdapat dua atau lebih variabel bebas yang tidak
spesifik, maka persamaan tersebut dinamakan Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui perbedaan kedua jenis persemaan diferensial
itu dapat dilihat dalam definisi sebagai berikut :
1.
Persamaan Diferensial Biasa :
Persamaan
Diferensial Biasa (PDB) adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik
dan ditentukan hanya oleh satu macam variabel bebas, x dan konstanta.
Fungsi yang tidak diketahui (variabel
terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi
yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun
matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap
variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.
Contoh 1
Cari solusi
dari y’ = 2y
Karena dy = 2ydx
Maka solusinya y = e2x + k ; k = konstanta
Contoh 2
Cari solusi
dari yy’ = -x
Karena ydy = -xdx
dan solusinya x2 + y2
= 1 untuk -1 < x < 1
Contoh 3
Cari solusi
dari y’ = cos x
Karena dy = cos x dx
Maka solusinya y = sin x + k ; k = konstanta
A. Penyelesaian
Persamaan Diferensial Biasa (PDB) orde 1
Persamaan Diferensial Biasa orde 1 dapat diselesaiakan dengan cara:
a.
Persamaan eksak (exact equation)
b.
Persamaan yang dapat dipisahkan
(Separable equation)
c.
Persamaan Homogen (Homogeneus
equation)
d.
Faktor Integral
a. Persamaan
Eksak
Persamaan Umum Persamaan Diferensial Biasa orde 1 dalam dy/dx dapat dinyatakan
dengan:
Mdx + Ndy = 0
Dengan M dan M
merupakan fungsi x.
Syarat
persamaan eksak adalah jika :
dM/dy = dN/dx
Secara singkat cara penyelsaian PD
eksak adalah :
1.
M diintegralkan terhadap x, akan
diperoleh f
2. f dideferensialkan terhadap y
3. Samakan
antara df/dy = N
akan diperoleh f(y)
4. Masukan
f(y) ke PUPD (f)
b. Persamaan yang dapat dipisahkan
(separable equation)
Jika persamaan Mdx
+ Ndy = 0 dapat diubah menjadi
f(x) dx + g(y) dy, persamaan diferensial ini disebut PD yang dapat dipisahkan.
Sedangkan penyelesaiannya adalah :
∫ f
(x) dx + ∫ g (y) dy
= C
c. Persamaan Homogen
Persamaan diferensial disebut dengan
persamaan homogen adalah jika persamaannya berbentuk:
dy/dx = f (y/x) (1)
Persamaan Diferensial ini
diselesaikan dengan substitusi
y = nx (2)
dy/dx = v + x dv/dx (3)
Jika persamaan (3) disubtitusikan ke persamaan
(1) akan diperoleh :
v + x dv/dx = f
(v)
vx dv/dx = f (v) -
v
dx/x = dv/f (v)
-
v
(4)
Jika persamaan (4) diintegralkan akan diperoleh
ln
x = ∫ dx/ f (v) –
v + C
d. Faktor Integral
Persamaan umum Persamaan Diferensial yang dapat
diselesaikan dengan faktor integral :
dy/dx
+ P(x)y = Q(y)
Faktor pengintegralan diberikan dalam
bentuk :
μ = e∫
P(x) dx
Persamaan umumnya dapat ditulis :
d(μy)/dx = μQ
Dengan penyelsaian umumya :
μy = μQdx +
C
Atau,
ye∫ P(x) dx= ∫Q e∫ P(x) dxdx + C
B. Persamaan Diferensial Biasa Orde 2
Persamaan umum Persamaan Diferensial Biasa
orde 2 adalah :
Pd2y/dx2 + Q dy/dx + Ry = ᶲ(x)
Secara
umum Persamaan Diferensial Biasa orde 2 dikelmpokkan menjadi 2
kelompok :
1.
Persamaan Diferensial Biasa orde 2 Non Linier
a.
Persamaan tidak
mengandung y
Persamaan Diferensial Biasa orde 2 yang
tidak mengandung y dapat berbentuk :
i.
d2y/dx2 =ᶲ (x) Dalam hal ini
tidak mengandung dy/dx dan y.
Penyelesaiannya
adalah dengan integrasi dua kali.
ii. d2y/dx2
=ᶲ (x, dy/dx) Dalam hal ini tidak mengandung y.
Penyelesaiannya
adalah dengan substitusi P = dy/dx, sehingga akan dihasilkan suatu PDB orde 1.
b.
Persamaan tidak
mengandung x
Persamaan
umumnya adalah :
d2y/dx2 =ᶲ (x, dy/dx)
Penyelesaiannya
adalah dengan subtitusi n = y'y" = d2y/dx2 = dv/dx = dv/dy .
dy/dx = v dy/dx
Akan
diperoleh persamaan :
Persamaan diatas merupakan PDB orde 1
c.
Persamaan
homogen
2.
Persamaan Diferensial Biasa orde 2 Linier
a.
Koefisien dalam
persamaan merupakan konstanta
b.
Koefisien dalam
persamaan merupakan fugsi x
Persamaan
umum PDB orde 2 adalah :
Dimana P, Q, R adalah konstanta
Penyelesaian umum Persamaan Diferensial Biasa orde 2 linier
:
Substitusi :
y =
u + v
Sehingga persamaan menjadi :
Persamaan diatas dapat dipecah menjadi dua :
(Complementary
Function = CF)
(Particular
Integral = PI)
Persamaan kemudian diselesaikan perkelompok
yaitu CF dan PI
PUPD = CF + PI = yc + yp
Penyelesaian Particular Integral
(yp)
Persamaan
umum :
f(x) dapat konstanta ataupun variabel
Secara
umum particular integral adapt diselesaikan dengan :
a. Metode Undetermined coefficient
(Prinsip coba-coba)
b. Metode Invers Operator
Pada modul ini hanya akan dibahas
metode undetermined coefficient
a. Jika f(x) adalah
konstanta ( K ), dicoba dengan asumsi :
yp = C , ,
Jika dimasukkan ke PI maka
0
+ 0 + Ryp
= K
yp = K/R
b.
Jika f(x) adalah
polinomial
f(x) = ao + a1 x + a2 x2 +
a3 x3 + .......+ an xn
Maka
penyelesaian PI adalah :
yp
= ao + a1
x + a2 x2 + a3
x3 + .......+ an xn
Subsitusikan ke PI kemudian disamakan.
c. Φ(x) adalah
eksponensial
Φ(x) = T exp(rx)
d. Φ(x) adalah
trigonometri
Φ(x) = G sin nx
+ H cos nx
BONUS 10% SETIAP HARI
BalasHapusAgen Bandar Taruhan Judi Bola Sbobet Online Terpercaya dan terbaik yg menyediakan jasa layanan terhadap awal akun permainan judi atau taruhan online buat kamu di duta judi online yang berkedudukan International, berlaku dan terpercaya hanya di judi bola deposit pulsa.
Juga Sebagai Cabang Bola Sbobet Indonesia Terpercaya, ZeusBola telah berkerja sama dengan perusahaan Sbobet beroperasi di Asia yang dilisensikan oleh First Cagayan Leisure & Resort Corporation, Manila-Filipina dan di Eropa dilisensikan oleh penguasaan Isle of Man pada beroperasi juga sebagai juru taruhan sport sedunia.
https://bolazeus.info/2018/12/28/situs-agen-taruhan-sabung-ayam-s128-deposit-pulsa-termurah/
https://bolazeus.info/2018/12/27/link-alternatif-s128-deposit-pulsa-sabung-ayam-online/
https://bolazeus.info/2018/12/26/panduan-judi-deposit-pulsa-telkomsel-teraman/
https://bolazeus.info/2018/12/26/cara-memilih-agen-poker-deposit-via-pulsa/
Ayo daftar sekarang di bolazeus.biz
PROMO NEW MEMBER!
BalasHapusAgen Judi Pulsa Terpercaya Di Indonesia, keadaan badal Judi Online mengemukakan pulsa adalah setara bos judi yang menahan pertunjukan poker online pada kala ini sudah sangat enteng degnan hadirnya pementasan ini judi online endapan melalui pulsa kemudahan bernilai berlagak disebuah tontonan poker online yang bisa kita jumpai waktu ini sebenarnya buah bermula makin bertumbuhnya masa dan teknologi masa ini didalam pertunjukan taruhan online. Menurut cuma menganjurkan pulsa laksana dana sedimen pementasan di zeus bola online, pemain sudah meraih aplusan yang mega beraga beserta memboyong permainan.
Tengil menamakan pulsa didalam atraksi poker online pastinya emang tentu makin meremehkan pegawai masa agan mengerjakan pertunjukan gadaian online. Dengan masuknya sedimen melewati pulsa lalu pemain akan becus berdasarkan ringan bernilai berkelakuan serta menjadi jagoan didalam sebentuk permainan poker. Pergelaran poker online endapan dengan pulsa mestinya akan merapai sebagian khasiat bergaya yang dapat berupa pulsa saja atau berbentuk uang absah didalam sebuah tontonan judi online.
BACA JUGA:
http://134.209.98.69/keuntungan-main-judi-lewat-pulsa-di-zeusbola-win/
http://134.209.98.69/langkah-mencari-bandar-judi-pakai-pulsa-terpercaya/
http://134.209.98.69/keuntungan-main-judi-lewat-pulsa-telkomsel-xl/
Ayo daftar sekarang di ZeusBola
BISA DEPOSIT PAKAI PULSA
BalasHapusDewaZeus merupakan partner dari situs ZeusBola, yang merupakan agen master agen taruhan judi bola, Casino, Poker, taruhan sabung ayam online S128, CF88 DewaPoker, Live Casino Agen Resmi Lisensi Filipina Paling Terpercaya di Indonesia, hanya di Bolazeus.
Sebagai Perwakilan Bola Sbobet Indonesia Terpercaya, ZeusBola telah berkerja sama dgn kongsi Sbobet beroperasi di Asia yang dilisensikan oleh First Cagayan Leisure & Resort Corporation, Manila-Filipina dan di Eropa dilisensikan oleh sang pemimpin Isle of Man buat beroperasi juga sebagai juru taruhan olahraga sedunia.
https://dewazeus.site/tips-penting-memilih-agen-poker-online-deposit-via-pulsa-terpercaya/
https://dewazeus.site/situs-poker-online-deposit-via-pulsa-termurah-hanya-25rb/
zeus77.org
Ayo gabung sekarang di dewazeus.site
BOLAVITA Agen Sabung Ayam Online SBOBET IBCBET Casino Online Togel Online Prediksi Bola Indonesia.
BalasHapusUntuk Anda Semua Para Bettor Di Seluruh Indonesia - Kami BOLAVITA Mengajak Anda Semua Untuk Gabung Bersama Kami.
Promo Promo Menarik Yang Kami Sediakan Untuk Para BETTOR BOLAVITA.
* Bonus Deposit (Khusus Sportbook) Setiap Harinya
* Bonus Deposit Tangkas
* Bonus Cashback Sport
* Bonus Cashback Casino
* Bonus Rollingan Casino
* Bonus Cashback Sabung Ayam (COCKFIGHTING)
* Bonus Referral Seumur Hidup
BOLAVITA Memiliki Nilai Plus Seperti :
* Pendaftaran User ID Baru Tidak Di Pungut Biaya
* Minimal Deposit Rp 25.000 & Withdraw Rp.50.000,-
* Pelayanan CS Kami Yang Ramah & Sopan Siap Melayani 24 Jam Nonstop
* Proses Deposit & Withdraw Kurang Dari 2 Menit Saja
* Data & Privasi Pemain Di Jamin Safety
Untuk informasi lebih lanjut bisa hubungi kami via livechat ataupun :
✔ WA / TELEGRAM : +6281297392623
#bolavita #bvgaming #bonusnewmember #Bonusdeposit #judionlineresmi #agentogelterpercaya #promobolavita #judionlineresmi #bandarjuditerbaik #agenjuditerbaik #situsjuditerpercaya #situsjuditerbaik #situsjuditerbesar #slotonline #slotonlinedeposit #slotbolavita #slotterbaik #slotgame #slotgacor
BONUS ROLLINGAN PERMAINAN LIVE CASINO & SLOT SAMPAI DENGAN 1%
BalasHapus- Bonus Rollingan Diberikan Kepada Pemain yang Aktif Bermain.
- Bonus Rollingan Diberikan, Dengan Perhitungan Valid Bet x Bonus Rollingan ( 0.5 - 1% )
- Perhitungan Bonus Dihitung Berdasarkan Level Pemain yaitu :
• Regular Member = 0.5%
• Silver Member = 0.6%
• Gold Member = 0.7%
• Platinum Member = 1%
Untuk informasi lebih lanjut bisa hubungi kami via livechat ataupun :
✔ WA / TELEGRAM : +6281297392623
#bolavita #promobolavita #judionlinebolavita #bonusbolavita #slotbolavita #judibolavita #bolavitadepobsi #depositbsi